北邮大学校长乔建永：数学史上的三次数学危机

2016年10月13日在沙河校区面向二年级同学的报告，根据录音整理

　　记得，早在1981年，美国就发表了一份题为《进一步繁荣美国数学》的报告，其中有两句话我至今记忆犹新：“高科技的出现把我们的社会推进到数学工程技术的新时代”和“高技术本质上是一种数学技术”。今天三十多年过去了，人类果然进入了机器实验数学时代。许多过去难以在实验室里完成的实验，今天也可以通过数学实验来完成，比如，天文学中超新星的爆发过程，地质学中的地壳运动过程，分子生物学中大分子的复杂行为，核爆炸过程中的数据采集，等等。数学在这几十年里对社会进步所起到的推动作用是实质性的。数学推动了信息化，信息化带动了新型工业化，新型工业化伴随人类走向现代化。数学改变着人类的生产生活方式，思想观念和文化存在。如果我们进一步考察数学沿着这条路径发展的内生动力，就会发现计算与推理的故事异常精彩！

　　下面我与同学们分享三个方面的内容：数学史上的三次数学危机；信息科技对数学发展的影响；快速计算催生出的大逻辑。

一、数学史上的三次数学危机

　　从公元前6世纪到20世纪初2600年间发生过三次数学危机。第一次称为毕达哥拉斯悖论，发生在公元前5世纪。当时欧洲有个毕达哥拉斯学派，他们崇尚“万物皆数”的信条：任何线段长度都可表示为两个自然数之比。他们知道有理数具有稠密性与和谐性，发现了毕达哥拉斯定理（勾股定理）。所谓毕达哥拉斯悖论，就是有个叫Hipasus的人发现了直角边长为1的等腰直角三角形斜边长度不是自然数之比，从而同毕达哥拉斯学派的信条相互矛盾。这一悖论导致了Hipasus被毕达哥拉斯学派追杀，最终葬身大海的悲剧。大约公元前370年，古希腊数学家Eudoxus建立了新的比例理论，无理数被认识，彻底化解了毕达哥拉斯悖论。

　　第二次数学危机称为贝克莱悖论。17世纪末，牛顿和莱布尼茨分别独立地建立了微积分方法。微积分是初等和高等数学的分水岭。莱布尼茨说：从人类有数学开始到牛顿时代，牛顿的贡献至少一半以上！尽管如此，从本质上说，还是科学技术的发展催生了微积分。17世纪，科学技术发展迅猛，向数学提出四类问题：瞬时速度问题；曲线的切线问题；函数极值问题；曲线长度和图形面积问题。以上四类问题吸引了大批数学家，产生了新的数学工具：坐标解析几何。在牛顿和莱布尼茨之前，微积分的思想方法已经部分形成，解决了一些实际问题。恩格斯说过，微积分大体上是由牛顿和莱布尼茨完成的，但不是他们发明的。

　　牛顿和莱布尼茨的主要贡献有四个方面：一是澄清概念：建立导数（变化率）的概念；二是提炼方法：创立普遍使用的微积分方法；三是改变形式：把几何形式变为解析形式；四是确定关系：微分和积分的互逆关系。微积分的建立标志着数学从常数数学时代进入变数数学时代，推动了整个科学技术的发展。

　　例子：牛顿-莱布尼茨求导数

　　y = x2

　　y + dy = (x+dx)2 = x2 + 2xdx + (dx)2

　　从而有

　　dy = 2xdx + (dx)2

　　两边除以dx得：

　　dy/dx = 2x + dx

　　因为dx是无穷小量，故yˊ= dy/dx = 2x .

　　1734年爱尔兰主教贝克莱提出贝克莱悖论：无穷小量 dx 既是0又不是0！

　　化解这一悖论的重大科学发现是极限论，它使得微积分得以严密化。1820年，法国数学家柯西给出极限的慨念，把无穷小量规范为“想有多小就有多小”的变量------极限为零的变量。魏尔斯托拉斯进一步改进柯西的工作，给出极限的e--d 语言定义： 如果任给 e > 0，存在一个正数 d，使得 | x - x0 | < d 且 x ¹ x0 时，均有| f(x) - A | < e，则称f(x)在 x0 处有极限 A .这就彻底解决了贝克莱悖论。

　　第三次数学危机是罗素悖论。当时人类已经进入20世纪初，数学界喜气洋洋，一片乐观。19世纪后期，高等数学（微积分），线性代数（多项式，矩阵，行列式），几何学（射影几何）已经发展得十分完备；一些新的数学分支，如泛函分析，抽象代数，拓扑学，等等，开始出现；康托建立了集合论-----现代数学的基础。1900年庞加莱称：数学的严格性，看来直到今天才可以说是实现了。正在此时，罗素定义的集合R：所有不以自己为元素的集合所组成的集合R = { x | x Ï x }。

　　显然，集合论应该有一个基本原则：一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必居其一。而罗素的集合R本身既是R的元素,又不是R的元素！这就是罗素悖论。罗素把这一发现写信告诉了德国数学家弗雷格，弗雷格大吃一惊：一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于在他的工作即将结束时，其基础却崩塌了，罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。罗素悖论在数学界掀起轩然大波，产生了灾难性的影响，引发了第三次数学危机。

　　为了解决罗素悖论，演化出逻辑主义，直觉主义，形式主义等数学学派，产生了集合论的公理化。人们注意到，必须对康托的朴素集合论加以限制，限制到足以排除悖论，同时保留所有有价值的东西。庞加莱说，我们建造了一个围栏来放养羊群，以防止它们被狼侵害，但我们不知道在围栏中是否已经有狼。

二.信息科技对数学发展的影响

　　上世纪50年代，一些美国数学家（包括华裔数学家王浩）用计算机证明了《数学原理》（罗素，怀特海著）中一阶逻辑部分的全部定理;后来，吴文俊，张景中等用计算机证明了许多几何定理；进入互联网时代，信息传递的非线性和思维模式的改变都对数学研究和发展产生了深入影响。最为深刻的是两个古老数学猜想-----四色猜想和球堆积猜想的证明。

（1）四色猜想

　　1852年10月，弗兰西斯·古色利发现：给地图着色似乎只要4种颜色！其弟（弗兰德里克）求教于数学家德·摩尔根；摩尔根无能为力。1879年，肯泊证明了四色猜想（可惜错了）；1890年，希伍德证明了五色定理；1950年，法国数学家希许提出“希许电荷法”。1976年阿贝尔和哈肯宣布，他们用计算机证明了四色猜想。但数学界对此产生了强烈的争论：一是，怎样检查证明的正确性（阿贝尔和哈肯用自己的程序工作了四年，花了1200个计算机小时，检查了3000多个数学结论）。二是，在这里“数学证明”的概念发生了突变。

（2）球堆积猜想

　　1590年的某一天，英国萝利爵士在考虑自己船队出海时船上炮弹码放方式，求助于英国数学家哈里耳特；哈里耳特把问题归结为：怎样码放球体，使其占用空间最小？并且他把该问题写信告诉了德国科学家Kepler;1611年Kepler猜想：当大小相当的球体按照“面心晶体”的形式，并且将第一层摆成六角形时，它们占用的空间最小，对空间的利用率可以超过74%。所谓面心晶体，其实就是水果店老板码放桔子的方式：把上一层桔子交错着放到下一层桔子彼此相邻的凹处！Kepler猜想也称为球堆积猜想。此猜想提出后便吸引了许多数学家的兴趣；1900年，希尔伯特将Kepler猜想列入著名的“二十三个未解数学难题”；1953年，匈牙利数学家托斯:Kepler猜想的证明可以减少为有限多种情况(数目极为庞大)。据说，从1992年开始，美国密西根大学托马斯·海尔斯就按照托斯的思路用计算机研究Kepler猜想；经过6年运算，1998年托马斯·海尔斯宣布完成证明！这时他已到匹斯堡大学工作。托马斯·海尔斯的证明包括250页文稿，10万行左右的计算机程序，3G的计算机程序和运算结果；可喜的是，著名数学杂志《Annals of Mathematics》同意发表托马斯·海尔斯的证明，请托斯的儿子担任评审委员会的负责人！《Annals of Mathematics》开始对托马斯·海尔斯的证明进行彻底而审慎的检验。但是，干了6年后，评审委员会决定放弃全面验证该文的计划；无奈之下， 《Annals of Mathematics》提出发表时加一条免责条款：本证明大部分，但非全部，被验证过。因遭到许多数学家的批评而未实施。最后《Annals of Mathematics》决定：将论文一切两半，刊登已经使用传统方式验证过的证明，舍弃计算机运算的数据。

　　普林斯顿大学康威教授说，我不喜欢它们（计算机证明），因为不知道究竟发生了什么。也有乐观数学家认为，计算机可以打败世界象棋冠军，为什么不能战胜数学家？记得Kepler曾经说过，数学是唯一好的形而上学。今天人们用计算机如此形而下的方式解答了他的猜想？该是多么具有充满讽刺意味啊！

　　信息化时代还带来了更为有趣的事情：著名数学家菜尔伯格,（以色列人），现为美国Temple 大学教授，给他写电子邮件要加上“Math Is Fun”,否则他的系统就可能会把邮件当做垃圾邮件过滤掉。据说，他不喜欢开车，喜欢坐火车，因为坐火车可以同时研究数学。当今数学界有个作者艾卡德（Shalosh B. Ekhad) 发表了几十篇数学研究论文。一些论文艾卡德独立署名，还有一些论文艾卡德同菜尔伯格联合署名。菜尔伯格说自己是艾卡德的导师。其实Ekhad是菜尔伯格操作的一台计算机！

　　回顾两千多年来数学发展的历史，可以看到，公元前6世纪逻辑思维征服计算技术，占了上风；今天计算技术反扑而来，正在对逻辑思维产生深刻影响。计算科学究竟是如何影响人类思维的？影响是表面的还是根本性的？要考虑这样的问题，我们必须对思维模式进行分类：科学思维，艺术思维，….....其中亚里斯多德三段式论证是逻辑思维最为精妙的模板：大前提；小前提；结论！

　　计算机能代替人的思维吗？这不仅仅是数学问题、科学问题，更是哲学问题。国外有学者声称，大数据时代最大的转变就是，放弃对因果关系的渴求，而取而代之关注相关关系。也就是说只要知道“是什么”，而不需要知道“为什么”。这就是信息化时代出现的、典型的哲学迷失，必须予以纠正！按照笛卡尔的理性哲学，我思故我在，人类永远不会放弃对因果关系的渴求。快速计算绝没有淡化因果关系，它只是加大了逻辑思维的“容量”。从四色猜想和球堆积猜想的证明可以看出，亚里斯多德三段式论证的前提条件的叙述在这里占用了较大容量的计算机空间，单靠一个人的生理功能和生命时间是无法完成阅读的。我们不妨把它称为大逻辑。

　　信息化时代或许正在将科学思维的维度加以拓展，从二维（实证思维、逻辑思维）向三维（实证思维、逻辑思维、大逻辑思维）拓展。计算科学对人类思维模式的这种影响不是表面的，而是根本性的。大逻辑思维必须引起我们的高度重视。

谢谢同学们！

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